Sudut Dan Garis

BAB I

SUDUT DAN GARIS

SUDUT

a.      Pengertian Sudut

Sudut  adalah pertemuan dua sinar garis. Lihat gambar dibawah ini:

                                          b

 

         a                  α                      c

Ada juga yang berpendapat sudut dapat di bentuk oleh dua garis yang memiliki titik pangkal yang berimpitan. Biasanya sudut di lambangkan dengan “     “.

b.      Jenis-jenis sudut

1. Sudut Lancip  yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90°.

2. Sudut Siku-Siku  yaitu  sudut yang besarnya  90°

3. Sudut Tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90° dan kurang dari 180°

4.  Sudut Lurus  yaitu sudut yang besarnya 180°

5.  Sudut Satu Putaran Penuh  yaitu sudut yang besarnya 360°

Arah Perputaran Jarum Jam	Jarak	Nama Sudut	Besar  Sudut
	1 Putaran penuh		360°
α	½ Putaran penuh		180°
α		Sudut Tumpul	90°< α <180 o:p="">

α

¼ Putaran penuh

Sudut Siku-Siku

90°

α

Sudut Lancip

0°< α <90 o:p="">

c.       Mata Angin

Arah mata angin secara lengkap berupa 1 lingkaran penuh.

                                                          U

     

               Barat Laut                                                  Timur Laut

                                               

                                             B                                                                        T

                                      Barat Daya                                         Tenggara

                                                                            S

   Ada 8 daerah yang dibatasi oleh mata angin yang berurutan.  Jadi besar sudut oleh mata angin yang berurutan =   = 45°

d.      Satuan Sudut

Besar suatu sudut yang dinyatakan dengan satuan derajat (°). Satuan-satuan suut lain diantaranya adalah menit ( ' ) dan detik ( '' ).

Hubungan antara derajat, menit dan detik adalah :

1 derajat       = 60 menit       → 1°    = 60'

1menit          = 60 detik        → 1'    = 60'

1 menit         =  derajat    →1'     = ﴾﴿°

1 detik         =  menit     →1''     = ﴾﴿'

Contoh :

1. 10 menit   =.......derajat

2. 10 derajat =.......menit

Jawab :

1.      10' = 10 x ﴾﴿°                2. 10 ° = 10 x 60°

=﴾﴿°                                   = 600'

=﴾﴿°

Contoh :

1. 15°+30'    =.......°                                                  2. 8° - 15'         =.......'

               = 15°+ ﴾﴿°                                                 =(8 x 60)' - 15'

               = 15°+﴾﴿°                                                    =480' - 15'

            =﴾15﴿°                                                        =465'

                   3 . 51°14' - 34°45' = 50°74' - 34°45'

                                                 = 16°29'

e.       Sifat-sifat Sudut Yang Berhubungan

1. Saling Berpelurus

 

                        a          b

Jumkah kedua sudut 180° . Maka berlaku        a +       b =180°

Contoh soal:

Dari dari diatas jika di ketahui sudut a=95° ,tentukan sudut b ?

a +       b=180°

b = 180°-95°

       b= 85°

2. Saling Yang Berpenyiku

 

                                              

a

       b

                                                                       

Jumlah kedua sudut 90°. Maka berlaku        a +      b =90°

3. Bertolak Belakang

 

           1

       a        b

                                 2

Sudut yang bertolak belakang sama besar        a=         b  dan        1 =        2

f.       Hubungan Sudut-sudut Pada Dua Garis Sejajar yang Dipotong Garis Lain

                               A₁      A₂

                          A₃    A₄

              B₁     B₂

         B₃      B₄

Keterangan :

a. Sudut-sudut sehadap besarnya sama

A₁=      B₁;      A₂=      B₂ ;       A₃ =      B₃

b. Sudut-sudut dalam bersebrangan besarnya sama

     A₄ =      B₁dan      A₃ =      B₂

c.  Sudut-sudut luar bersebrangan besarnya sama

     A_{1 =}        B₄   dan        A₂ =      B₃

d. Jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180°

     A₃ +     B₁ =180°  dan        A₄ +     B₂ =180°

e.  Jumlah sudut-sudut luar  sepihak adalah 180°

     A₂ +     B₄ =180°   dan        A₁ +     B₃ =180°

g . Jurusan Tiga Angka

Jurusan tiga angka adalah suatu cara untuk menunjukkan dari letak suatu tempat yang diukur berpatokan arah utara (diputar searah jarum jam)

Contoh:

Kota A terletak pada 45° dari kota B. Tentukan jurusan tiga angka kota B dari kota A?

Penyelesaian:
U

                                           x°                x° = 45° + 180° = 225°

A                                            B

      45°                                       Jadi, jurusan tiga angka kota B dari kota A                                  = 225°

h . Sudut Elevasi

Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah mendatar dengan arah pandang keatas.                                                              Tinggi bendera

 

Manusia

                                                           Sudut Elevasi

                                          Jarak benda                                            

 

  Tanah lapang                                                                      Tinggi manusia

I . Sudut Depresi

Sudut Depresi adalah yang dibentuk oleh arah mendatar dengan arah pandang  ke bawah.

 

                          Sudut Depresi

 Sudut Depresi

 

A.    Garis

Garis adalah himpunan titik yang saling berhubungan

∞ Garis Sejajar

Garis dikatakan sejajar terhadap garis lainnya bila garis tersebut berada pada satu bidang datar dan tidak mempunyaititik temu dengan garis lain.

                                                               m

 

                                             a

 

                                            b

 

Garis a // garisb     ( sejajar (//) )

1.      Sifat-sifat Garis Sejajar

a.      Besar Sudut Sehadap Adalah Sama Besar

Sudut sehadap adalah suatu sudut yang dibentuk oleh garis sejajar dan menghadap arah yang sama.

Lihat gambar 1.0

b.      Besar Sudut Berseberangan

Suatu sudut dikatakansaling berseberangan jika diantara dua sudut dipisahkan (menyebrang) garis potong.

Lihat gambar 1.0

c.       Besar Suatu Sudut Dalam Bersebrangan Adalah Sama Besar

         Sudut dalam berseberangan adalah sudut yang terbrntuk didalam (diantara) dua garis sejajar yang dipotong dengan suatu garis.

Lihat gambar 1.0

d.      Besar Luar Bersebrangan Adalah Sama Besar

Sudut uar berseberangan adalah sudut yang terbentuk diluar garis sejajar yang dipotong suatu garis.

Lihat gambar 1.0

e.       Jumlah Sudut Dalam Sepihak Adalah 180°.

Lihat gambar 1.0

f.       Jumlah Sudut Luar Sepihak Adalah 180°.

Lihat gambar 1.0

Gambar 1.0 :

                               A₁      A₂

                          A₃    A₄

              B₁     B₂

         B₃      B₄

     A₃    sehadap dengan           B₃

     A₂     sehadap dengan           B₂

besar sudut       A₃= besar sudut        B₂

besar sudut       A₁= besar sudut        B₄

     A₂ +       B₄ =180°   dan      A₁ +     B₃ =180°

BAB 2

Peta konsep:

                                               

                                                                              mempelajari                                                                                  

 

 

                                 Diperoleh jika                                         diperoleh jika

 

1.1 persamaan garis lurus

Persamaan garis lurus adalah persamaan yang membentuk sebuah garis lurus bila pasangan koordinat x dan y-nya digambar pada grafik.

Sebelum kita mengenal dan memahami pengertian garis lurus terlebih dahulu kita mengingat kembali pengertian sistem koordinat cartesius .sistem koordinat cartesius digunakan untuk menggambarkan persamaan garis  tersebut.garis mendatar pada koordinat cartecius dinamakansumbu x dan garis vertikal dinamakan sumbu y.kedua sumbu tersebut berpotongan pada titik asal O(0,0).

Letak sebuah titik P (x, y) pada sistem koordinat Cartesius ditentukan oleh absis x dan ordinat y.

Tunjukkan koordinat titik A (3,4), B (5,2), C (-1,3), dan D (-2,-1) pada bidang cartesius.

Jawab :

Coordinat titik-titik A, B, C dan D ditunjukkan pada gambar disamping.

Contoh persamaan garis lurus :

  Y =2x+3 disebut persamaan gais lurus /sering disebut persamaan garis .di sebut persamaan garis lurus kana persamaan tdi dapat diajikan sebagai suatu garis lurus.pada persamaan y=2x+3,x,y disebut variabel.  Persamaan garis dapat dituliskan  dalam bentuk:

 

Bentuk persamaan garis lurus diperoleh jika :

1.diketahui gradien dan sebuah titik

Persamaan garis yang melalui titik(0,0)dan titik (a,b)dengan a≠0 adalah y =

Untuk mencari persamaan garis  yang melalui titik (x,y) dapat menggunakan cara

      m = 

 y-y₁ =m(x-x₁)

2.Diketahui dua titik yang berbeda :

Telah diketahui gradien suatu garis yang melalui p(x_1,y₁) dan R(X_2,Y₂) adalah m=  maka disubstitusikan m pada persamaan y-y₁=m(x-x₁)

                      y-y₁=m(x-x₁)

          ↔ y-y₁=  .(x_2-x₁)

Membagi kedua ruas dengan y₂-y₁

   ₌ 

Oleh karena  = maka di peroleh

  =  

Gradien suatu garis lurus merupakan ukuran kecondongan suatu garis ,gradien disebut juga koefisien arah suatu garis lurus ,dan sering disimbolkan dengan m.gradien adalah perbandingan antara jarak tegak terhadap jarak mendatar .

Gradien akan diperoleh jika :

1.gradien suatu garis yang melalui pusat O(0,0)dan titik (x,y)

Dan garis dengan persamaan y=mx memiliki gradien m.misalkan terdapat titik O(0,0) dan titik(x,y) ,A (1.3) mempunyai persamaan y=3x maka gradiennya adalah 3.

Garis dengan persamaan y=mx+c memliki gradien m.contoh y=2x+1 makamemiliki gradien 2

Contoh:tentukan gradien garis yang melalui titik (0,0)dan(4,1).

Garis yang melalui titik O(0,0)dan (a,b),a≠0 mempunyai gradien .jadi ,gradien garis yang melalui titik O(0,0)dan(4,1)adlah .

Lalu apakah persamaan x= + merupakan persamaan garis lurus?

Penyelesaian :

X=

28x=7y+24

7y=28x-24

Y=4x -  bentuk y=4x -  merupakan bentuk y=ab+b dengan a=4 dan b= -.

Jadi persamaan x= merupakan persamaan garis lurus.

1.      Gradien garis garis sejajar.garis sejajar akan memiliki gradien yang sama

2.      Jika diketahui garis garis dengan gradien yang sama maka pastilah garis garis tersebut saling sejajar

Example:

Tentukan persamaan garis sejajar dengan garis y=2x+3 dan melalui titik A(1,4)

Penyelesaian : diketahui m= 2

Persamaan garis k adalah y=2x+b

Karena garis k melalui titik A(1,4) maka :

Y=2x+b

4=2(1)+b

4=2+b

B=4-2

   = 2

Jadi persamaan garis yang sejajar dengan garis y=2x+b dan melalui titik A(1,4) adalah y=2x+2

Gradien garis garis yang saling tegak lurus:

Hasil kali gradien garis garis yang saling tegak lurus  adalah 1.

Contoh soal

Misalnya garis g melalui titik (1,-1)dan titik (3,1).adapun h melalui titik (3,1) dan (6,-2).apakah garis g dan garis h saling tegak lurus ? untuk mengetahui apakah garis h salingtegak tegak lurus ,maka menentukan mg dan mh terlebih dahulu

·         garis g melalui (1,-1) dan titik(3,1) dengan demikian  mg=1

·         garis h melalui titik (3,1)dan titik(6,-2) denga demikian mh= -1 hasil kali antara mg dan mh adalah mg×mh adalah 1×-1=-1 dengan demikian mg dan mh=-1 adalah saling tegak lurus .

persamaan garis lurus ini akan di ketahui juga melalui titik potongnya

menentukan titik potong dua buah garis untuk mengetahui titik potong kedua garis adalah

jika y₁ =a₁x+b dan y₂₌a₂x+b adalah persamaan dua garis yang tidak sejajar maka titik potongnya dapat dicari denga menyelesaikan persamaan a₁x+b= a₂x+b.kemudian menyubstitusiakan nilai x ke salah satu persamaan garis itu.

Contoh:tentukan titik potng garis y=3x+5 dan y=x-7.

3x+5=x-7

      ↔   3x-x=-7-5

      ↔    x=-12

      ↔   x=

      ↔    x=-6x

Dengan menyubtitusikan nilai x=-6 ke salah satu persamaan ,misalnya persamaan  

y=x-7,diperoleh berikut:

          Y= - 7

             =(-6)-7

             = -13

Jadi titik potong garis y=3x+5 dan y=x-7 adalah (-6,-13).

Latihan Soal – soal

LATIHAN I

1.Tentukan  gradien garis dengan persamaan  3x-5y+20=0

2.tentukan garis yang melalui ttitik (4,5)dan sejajar garis y=3x+5.kemudian  gambarlah garis itu pada bidang cartesius.

3.tentukan  titik potong garis y=3x+5 dan y=x-7

4. 2. Titik (6,m) dan (-3,3) terletak pada garis lurus yang sejajar dengan garis 2x+3y = 6.

Tentukan nilai m !

5. 2. Titik (6,m) dan (-3,3) terletak pada garis lurus yang sejajar dengan garis 2x+3y = 6.

Tentukan nilai m !

6. Tentukan a supaya garis 2x+3y = 6 saling tegak lurus dengan garis (1+a)x-6y = 7 !

7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan sejajar garis 4x+5y+6= 0

8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik R(-3,3) dan sejajar garis yang melalui P(3,6)

dan Q(1,-2)

9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,1) dan tegak lurus pada garis yang melalui

titik (-2,3) dan (2,1)

10. Garis ax – y = 3 dan x + 2y = b berpotongan di titik (2,1). Tentukan a dan b !

Latihan II

Perhatikan gambar dibawah ini !

Gunakan untuk menjawab soal 1-5

                               A₁      A₂

                          A₃    A₄

              B₁     B₂

         B₃      B₄

Diketahui: Sudut A₁=  3x+5, A₄= 10°

Tentukan:

1.      Nilai x ,jika sudut B₃ = 2x-5

2.      Tentukan besar sudut A₁  dan B₃

3.      Tentukan besar sudut B₂

4.      Tentukan besar sudut A₃

5.      Tentukan besar sudutB₄

6.      30 menit + 50° =……..derajat

7.      20° + 90° =……detik

8.      51°43’ + 61°15’ =………

9.      71°17 - 39°34’=…….

10.  56°43’-14°56’ + 12°3’ =……..