Himpunan

HIMPUNAN

A.     Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda – benda atau obyek yang memiliki ciri yang sama dan telah dibatasi atau terdefinisi secara jelas.

Contoh :

v  Kambing, buaya, kerbau, rusa, anjing, harimau, dan gajah merupakan binatang yang berkaki empat. Hewan-hewan tersebut dapat menjadi anggota suatu himpunan, yaitu himpunan hewan berkaki empat.

v  { 2,3,5,7 }adalah Himpunan bilangan genap dari 10 sampai 20

          

     Satu set alat tulis              kumpulan alat transportasi darat

Pernyataan-pernyataan sebagaimana berikut :

v   Kumpulan siswa-siswa di kelasmu yang berwajah tampan

v   Kumpulan penyanyi yang suaranya merdu

v   Kumpulan siswa-siswa dikelasmu yang berbadan tinggi

v   Kumpulan kue-kue yang rasanya enak

v   Kumpulan orang-orang yang sudah tua

Pernyataan-pernyataan tersebut tidak bisa dikatakan sebagai suatu himpunan karena bersifat subjektif, sehingga pandangan masing-masing individu akan berbeda.

B.   Lambang Himpunan

Himpunan di simbolkan dengan menggunakan huruf kapital (huruf besar). Misalnya A, B, C, D, dan seterusnya. Penulisan anggota-anggota himpunan dibatasi oleh dua kurung kurawal ({}). Untuk memisahkan anggota yang satu dengan anggota yang lainnya digunakan tanda koma (,). Dan untuk menuliskan anggota himpunan yang berlanjut digunakan tanda titik sebanyak tiga buah.
perhatikan penulisan himpunan berikut:

A = { bilangan prima yang kurang dari sebelas}

B = { siswa di kelas VIIA yang tingginya lebih dari 150 cm }

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

 

H = {         ,                ,        }

C.      Menyatakan Suatu Himpunan

Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu :

dengan menuliskan sifat anggotanya, notasi pembentuk himpunan, dan mendaftar anggota-anggotanya.

a)      Menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya

Suatu himpunan yang memiliki anggota sangat banyak akan lebih mudah dinyatakan dengan kata-kata. Perhatikan cara menyatakan himpunan berikut.

v  P adalah himpunan nama ibu kota negara ASEAN atau

P = { nama ibu kota Negara ASEAN }.

v  R adalah himpunan nama mata uang di dunia atau

     R = {nama mata uang di dunia }.

v   Q adalah himpunan bilangan genap kurang dari 10 atau

Q = { bilangan genap kurang dari 10 }.

b)      Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

     Selain dengan kata-kata, suatu himpunan yang memiliki anggota sangat banyak pun dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Perhatikan contoh berikut.

v  P = { x  x adalah nama ibu kota negara-negara ASEAN}

       Dibaca : “himpunan P beranggotakan x, dengan x adalah nama ibu kota Negara-negara ASEAN”.

v  R = { y  y adalah nama mata uang di dunia }

            Dibaca : “himpunan R beranggotakan y, dengan y adalah nama mata uang di dunia”. 

v  Q = { x  x < 10, x є bilangan genap}

       Dibaca : “himpunan Q beranggotakan x, dengan x kurang dari 10 dan x anggota bilangan genap”.

c)      Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar semua anggotanya

     Ada beberapa hal yang diperlukan untuk menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar semua anggotanya, yaitu :

š Anggota – anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma.

š Urutan penulisan anggota-anggota himpunan boleh diabaikan, jika jumlah anggota himpunan terbatas.

š Jika ada anggota yang sama, maka anggota itu hanya ditulis satu kali.

š Jika anggota himpunan cukup banyak, maka ada sebagian anggota himpunan yang tidak dituliskan dan digantikan dengan tiga buah titik.

             Perhatikan contoh berikut.

v  A = { bilangan prima yang kurang dari 9 }. Bilangan yang kurang dari 9 adalah 2, 3, 5, 7. Penulisan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya adalah A = { 2, 3, 5, 7 }.

v  L = { x    x  є C}. C adalah bilangan cacah, yang meliputi 0, 1, 2, 3, 4, . . .

       L = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

D.  Anggota Himpunan

Anggota himpunan disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan.

Untuk menyatakan suatu objek atau benda yang merupakan anggota suatu himpunan dilambangkan dengan tanda “ є ”.   Sedangkan untuk menyatakan objek atau benda yang bukan anggota suatu himpunan dilambangkan dengan tanda “ є “.

Contoh :

v  Suatu himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, maka 1 є A, 2 є A, dan 7 є A

 Banyaknya anggota himpunan ditulis dengan notasi n(A). n(A) disebut bilangan Kardinal A.

Contoh :

v  Diketahui A = {1,2,3,4,5,6}. Maka banyaknya anggota himpunan A atau   ditulis n(A) = 6

E.       Jenis – Jenis Himpunan

1. Himpunan berhingga (finite set) adalah suatu himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung. Contohnya :

v  D = { bilangan genap kurang dari 10 }

v  A = { 0, 5, 10, . . . , 50}

Himpunan D dan A banyak  anggota atau elemennya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

2. Himpunan tak berhingga (infinite set) adalah suatu himpunan yang banyak anggotanya tidak terbatas.  Himpunan tak berhingga dituliskan dengan menuliskan beberapa anggotanya, kemudian diikuti dengan tiga titik.

Contohnya :

v  A = { bilangan genap}

v  B = { 1, 3, 5, 7, . . . }

Himpunan A dan B banyak anggotanya sangat banyak (tak terbatas) sehingga tidak dapat di hitung.

3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda ” {} “ atau  . banyaknya anggota himpunan kosong adalah 0. {0} merupakan himpunan dengan satu anggota yaitu, 0. { } merupakan himpunan yang tidak ada anggotanya.

Misalkan H adalah himpunan nama hari yang diawali huruf S, kita dapat menuliskannya  H = {senin, selasa, sabtu}.

            Jika Q adalah himpunan nama hari yang diawali huruf B, maka kita tulis Q = {}, karena tidak ada nama hari yang diawali huruf  B.

4.      Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota- anggotanya merupakan semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan dilambangkan dengan huruf S.
contohnya : 

v  Jika A = {1,3,5,7,9}   
himpunan semesta dari A berupa:      
S = {bilangan asli}     
S = {bilangan cacah}  
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

5. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A atau B adalah himpunan bagian dari A .
   misalkan terdapat himpunan-himpunan sebagai berikut :

A = {alat transportasi}

B = {alat transportasi yang bermesin}

C = {alat transportasi darat}

Dapat diketahui bahwa anggota-anggota himpunan B, meliputi : mobil, kereta api, dan kapal laut adalah alat transportasi. Sehingga setiap anggota himpunan B adalah juga anggota himpunan A, dan dapat dikatakan bahwa B adalah himpunan bagian dari A, di notasikan dengan B    A.

Jika kita perhatikan himpunan B dan C, tidak semua anggota himpunan B termasuk himpunan C. Dalam hal ini dikatakan B bukan himpunan bagian dari C. Dinotasikan dengan B    C.

F.       Diagram Venn

Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta.

Pada diagram venn, himpunan biasanya dinyatakan dalam bentuk lingkaran atau elips, sedangkan himpunan semesta dinyatakan dalam bentuk persegi panjang. Setiap anggota himpunan ditunjukan dengan sebuah noktah dan nama anggotanya ditulis berdekat dengan noktahnya.

Contohnya :

v  Buatlah diagram venn, jika : 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }    
A = { 1, 4, 6, 7 }       
B = { 2, 4, 5, 8 }

G.      Irisan dan Gabungan

a.         Irisan

Jika A dan B adalah himpunan, maka irisan dari keduanya adalah himpunan yang  anggota – anggotanya merupakan anggota A dan sekaligus anggota B, ditulis :

                   A ∩ B = { x | x є A dan B }

Contohnya :

Jika A = { 2, 7, 9, 11 }    
Jika B = { 1, 5, 9, 10}     
Maka A ∩ B = { 9 }

Jika di gambar dalam diagram venn :       

b.        Gabungan

Jika A dan B adalah himpunan, maka gabungan dari keduanya adalah himpunan yang anggota – anggotanya merupakan anggota A atau anggota B, artinya merupakan gabungan dari anggota keduanya.

A U B = {x  x є A atau x є B}

Contohnya :         
Jika A = { 5, 7, 11}          
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 } 
maka A U B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 }

Jika di gambar dalam diagram venn:                   

H.      Sifat - Sifat Operasi Himpunan

v  Komutatif

A ∩ B = B ∩ A

A U B = B U A

v  Asosiatif

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

A U ( B U C ) = ( A U B ) U C

v  Distributif

A ∩ ( B U C ) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

A U ( B ∩ C ) = (A U B) ∩ (A U C)

I.         Penerapan Himpunan

Perhatikan contoh berikut.

v  Dari 30 pemuda terdapat 21 pemuda yang suka sepakbola, 15 pemuda suka bulu tangkis, dan 12 pemuda suka kedua – duanya.

a.       Gambarlah diagram venn dari keterangan di atas.

b.      Berapa banyak pemuda yang tidak suka sepakbola dan tidak suka bulu tangkis ?

Jawab :

a.         Diagram venn

                     S           A                 B

                            

          99999

S = himpunan semesta, n(S) = 30

A = { pemuda yang suka sepakbola }, n(A) = 21

B = { pemuda yang suka bulu tangkis }, n(B) = 15

A B = { pemuda yang suka kedua – duanya }, n(AB) = 12

x = banyaknya pemuda yang tidak suka sepakbola dan tidak suka bulu tangkis.

b.        Banyaknya pemuda yang tidak suka sepak bola dan tidak suka bulu tangkis :

9 + 12 + 3 + x = n (S)

24 + x              = 30

x                      = 6

Jadi, banyaknya pemuda yang tidak suka sepakbola dan tidak suka bulu tangkis adalah 6 orang.

MATERI 2

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

A.    Pemfaktoran dengan sifat distributif

     Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Angka 6 bisa dituliskan dengan 6 x 1 atau 3 x 2. Berarti, 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari 6.

     Perhatikan sifat distributif berikut ini : ab + ac = a (b + c). a dan (b + c) merupakan faktor-faktor dari ab + ac. Pemfaktoran itu mengubah bentuk penjumlahan ab + ac menjadi bentuk perkalian a dan (b + c).

     Jika setiap suku pada suatu suku banyak memuat faktor a, maka salah satu faktor dari suku banyak itu adalah a. faktor yang lain di peroleh dengan cara membagi suku banyak itu dengan a. disini a disebut faktor persekutuan.

     Suku banyak a² + 2ab + 4ac mempunyai faktor a disetiap sukunya. Faktor yang lainnya :

a² + 2ab + 4ac                  =  (a + 2b + 4c). Jadi, faktor – faktor dari a² + 2ab + 4ac a

          a                                  adalah a dan ( a + 2ab + 4c ).

            Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk suku banyak menjadi bentuk perkalian. Cara mencari faktor dari suatu suku banyak :

1.      Cari faktor persekutuan tiap – tiap suku,

2.      Faktor yang lain adalah suku banyak dibagi faktor persekutuan.

Contoh Soal :

1.  Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.      
a. 5ab + 10b           c. –15p²q² + 10pq
b. 2x – 8x²y            d. ¹/₂ a³b² + ¹/₄ a²b³              
Jawab:

a.       5ab + 10b      
Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan
10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.    
Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.  
Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2).

b.       2x – 8x²y      
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x²y       adalah x.                                
Jadi, 2x – 8x²y = 2x(1 – 4xy).

c.        –15p²q² + 10pq        
Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p²q² dan pq adalah pq.      
Jadi, –15p²q² + 10pq = 5pq (–3pq + 2).

d.       ¹/₂ a³b² + ¹/₄ a²b³          
Faktor persekutuan dari ¹/₂ dan ¹/₄ adalah ¹/₄.           
Faktor persekutuan dari a³b² adalah a²b³ adalah a²b².          
Jadi, ¹/₂ a³b² + ¹/₄ a²b³ = ¹/₄ a²b² (2a +b)  

B.     Pemfaktoran bentuk x² ± 2xy + y²

Kita telah mempelajari sifat distributif perkalian, yaitu :

1.      (x + y )² = ( x + y ) ( x + y )

               = x ( x + y ) + y ( x + y )

               = x² + xy + xy  + y²

               = x² + 2xy + y²

 

2.      ( x – y )² = ( x – y ) (x – y )

               = x ( x - y ) - y ( x - y )

               = x² - xy - xy  + y²

               = x² - 2xy + y²

Memfaktorkan bentuk x² + 2xy + y² dan x² - 2xy + y² , artinya sama dengan mengubah x² + 2xy + y² menjadi ( x + y )² dan mengubah x² - 2xy + y² menjadi   (x-y)².

Pemfaktoran dapat dilakukan dengan cara membalik langkah – langkah penggunaan sifat distributif di atas.

1.      x² + 2xy + y²   = x² + xy + xy  + y²

          

                              = x( x + y ) + y( x + y )

                              =( x + y )( x + y)

                              =( x + y)²

Jadi, x² + 2xy + y² = ( x + y)²

2.      x² - 2xy + y²    = x² - xy - xy  + y²

          

                              = x( x - y ) - y( x - y )

                              =( x - y )( x - y)

                              =( x - y)²

Jadi, x² - 2xy + y² = ( x - y)²

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut ini!

a.       x² + 6x + 9

b.      4a² – 4a + 1

Jawab :

a.       x² + 6x + 9 = x² + 3x + 3x + 9

                   = x( x + 3) + 3 ( x + 3 )

                   = ( x + 3 )( x + 3 )

                   = ( x + 3 )²

b.      4a² – 4a + 1 = 4a² – 2a – 2a + 1

                    = 2a( 2a – 1 ) – 1( 2a – 1 )

                    = ( 2a – 1 ) ( 2a – 1 )

                    =  ( 2a – 1 )²

C.    Pemfaktoran selisih dua kuadrat

Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat diselesaikan sebagai berikut,       
  ( a + b )( a – b )          = a (a – b) + b (a – b)

= a² – ab + ab – b²        
            = a² – b²             

Jadi, bentuk a² – b² dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).

Contoh Soal :

Faktorkan bentuk-bentuk berikut !

a. p² – 4               c. 16 m² – 9n²            
b. 25x² – y²          d. 20p² – 5q²

Jawab:             a. p² – 4 = (p + 2)(p – 2)         
b. 25x² – y² = (5x + y)(5x – y)                       
c. 16m² – 9n² = (4m + 3n)(4m – 3n)  
d. 20p² – 5q² = 5(4p² – q²) = 5(2p + q)(2p – q)

D.    Pemfaktoran bentuk kuadrat

a.       Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Pada bentuk ax² + bx + c, a merupakan koefisien x², b merupakan koefisien x, dan c adalah bilangan tetap (konstan).

Untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, kita dapat menggunakan hukum distributif.perhatikan uraian berikut.

(x + 4) (x + 2)        =  x (x + 2) + 4 (x + 2)

                              =  x² + 2x + 4x + 8     

                              =  x² + 6x + 8

        Berarti, jika kita memfaktorkan x² + 6x + 8, maka faktornya adalah (x + 4) dan ( x + 2). Dapat juga ditulis seperti x² + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2).

      Perhatikan bahwa koefisien x diruas kiri, yaitu 6, sama dengan jumlah konstanta didalam kurung pada ruas kanan, yaitu 4 + 2. Sementara itu, konstanta di ruas kiri, yaitu 8, sama dengan hasil kali konstanta dalam kurung pada ruas kanan, yaitu 4 x 2.

Jadi, x² + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2)

Secara umum dapat disimpulkan :

Pemfaktoran x² + bx + c = (x + p) (x + q) harus memenuhi syarat: b = p + q dan c = p x q.

            Contoh soal:

                   Faktorkanlah bentuk berikut x² – 9xy + 8y² !

            Jawab :

                   Misalkan x² – 9xy + 8y² = ( x + p) ( x + q )

                   p + q = - 9y

                   p x q = 8y²

                         karena c positif dan b negatif, maka p dan q negatif. Diperoleh p = -y dan q = -8y, karena ( -y ) + (-8y) = -9y dan (-y) x (-8y) = 8y².

Jadi, x² – 9xy + 8y² = (x – y) (x – 8y).

b.      Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1

Perhatikan perkalian suku dua berikut.    
(2x + 5) (3x + 4) = 2x (3x + 4) + 5 (3x + 4)

                                   = 6x² + 8x + 15x + 20

                                   = 6x² + 23x + 20

Berarti, jika kita memfaktorkan bentuk 6x² + 23x + 20, maka hasilnya adalah (2x+5) (3x+4). Pemfaktoran bentuk 6x² + 23x + 20 dapat dilakukan dengan membalik tahapan perkalian diatas.

                           

               

                               6 x 20 =120

                       6x²         +  23x     +   20

                             8                 15 

                                 8 + 15 = 23

                                8 x  15 = 6 x 20

                    6x²+ 8x      +      15x+ 20

                    2x( 3x + 4 ) + 5( 3x + 4 )

                         ( 2x + 5 ) ( 3x + 4 )

                                 

            Perhatikan bahwa faktor-faktor dari ax² + bx + c ( a ≠ 1 ) dapat ditentukan dengan cara mengubah b menjadi dua suku yang memenuhi syarat-syarat berikut ini.

a.       Jika kedua suku itu di jumlahkan, maka akan menghasilkan b

b.      Jika kedua suku itu dikalikan, maka akan menghasilkan a x c

ax² + bx + c = ax² + px + qx + c

        p    q

dengan p + q = b dan p x q = a x c.

contoh soal :

Faktorkanlah bentuk berikut 6x² – x – 2 !

Pasangan bilangan	Penjumlahan	Perkalian
1 dan -2 2 dan -3 3 dan -4	-1 -1 -1	-2 -6 -12

Kita cari pasangan yang jumlahnya -1 dan hasil kalinya -12. Pasangan bilangan yang memenuhi adalah 3 dan -4.

6x² – x – 2       = 6x² + 3x – 4x – 2

                        = 3x ( 2x + 1) – 2 (2x + 1)

                        = (3x – 2) (2x + 1)

E.       MENYEDERHANAKAN PEMBAGIAN SUKU

Pecahan dapat disederhanakan dengan membagi masing – masing pembilang dan penyebut dengan faktor yang sama dari pembilang dan penyebut pecahan itu. Nilai pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dibagi dengan bilangan tak nol yang sama.

 =

            Kadangkala, pembilang dan penyebut atau kedua-duanya dari suatu pecahan berbentuk pecahan. Kita dapat menyederhanakannya dengan langkah-langkah berikut.

1.      Hilangkan bentuk pecahan pada masing-masing pembilang dan penyebutnya. Hal ini dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut pecahan yang terdapat pada pembilang dan penyebut.

2.      Faktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan itu.

Contoh soal :

Ä  Sederhanakanlah!