Friday 23 December 2016

Bilangan Bulat

Bilangan Bulat


1.      Pengertian bilangan bulat
Bilangan merupakan suatu satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah, atau dikalikan.

Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}

2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.
3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :

Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
A. Komutatif : Untuk semua elemen a dan b dari bilangan bulat,

B. Asosiatif :

C. Tertutup :
o Jumlah bilangan bulat sembarang adalah bilangan bulat.
o Hasil kali bilangan bulat sembarang adalah bilangan bulat.
D. Memiliki identitas :

E. Invers penjumlahan :
4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10



5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

Sifat-sifat :
6.  Pembagian
Pembagian adalah operasi yang berkebalikan dengan perkalian, misalnya a, b, c,  B, b faktor dari a dan b 0 maka a : b = c c x b = a
Contoh : 12 : 3 = 4 4 x 3 = 12
                  18 : (-2) = -9 -9 x (-2) = 18

7. Perpangkatan dan Sifat
8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

Latihan 1
1.   Selesaikan soal berikut
a.       (45 +-355) -37
b.       ((-10) x 3) x 5
c.       15 (2 x (-6))
d.      -24 : 3
e.       (32 x 3) : (-6)

2.   Selesaikan soal berikut
a.       5 + 7 + 2
b.        +  -  
c.       6 - 7
d.       +  4  + (15  : ( -3))
     
3.  Tiga tahun yang lalu umur ayah tiga kali umur anak, jika umur anak sekarang                                                                                                                                                                                                                                                         delapan belas tahun, berapakah umur ayah sekarang ?












OPERASI HITUNG PADA BENTUK
ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bagian ini, kita akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.
a. Sifat Komutatif
     a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
    (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
    a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Agar
dapat lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.
   Contoh Soal :
     Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 6mn + 3mn
b. 16x + 3 + 3x + 4
c. –x – y + x – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2
     Jawab:
    A  . 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4
     = 19x + 7
c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3
     = –y – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2
     = 5p – 3p2 + 2q – 5q2
     = –3p2 + 5p – 5q2 + 2q
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2
    = 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2
    = m2 + 6m
    Contoh Soal :
     Tentukan hasil dari:
a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,
b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.
     Jawab:
     a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
     = 6x2 + 4xy – 2
b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
     = –4p2 – 20p – 20
2. Perkalian Bentuk Aljabar
Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar
dapat memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
    Contoh Soal :
    Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.
  a. 2(x + 3)              c. 3x(y + 5)
  b. –5(9 – y)             d. –9p(5p – 2q)
    Jawab:
   a. 2(x + 3) = 2x + 6                c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y           d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Agar
dapat memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
   Contoh Soal :
     Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.
 a. (x + 5)(x + 3)               c. (2x + 4)(3x + 1)
 b. (x – 4)(x + 1)                d. (–3x + 2)(x – 5)
    Jawab:
    a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
                           = x2 + 5x + 3x + 15
                           = x2 + 8x + 15
b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1
                          = x2 – 4x + x – 4
                          = x2 – 3x – 4
c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1
                               = 6x2 + 12x + 2x + 4
                               = 6x2 + 14x + 4
d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)
                              = –3x2 + 2x + 15x – 10
                              = –3x2 + 17x – 10
   Contoh Soal :
      Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.
    Jawab:
      Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
         = (5x + 3)(6x – 2)
         = (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
         = 30x2 + 18x – 10x – 6
         = 30x2 + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2
Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
             (a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
                                    = ac + bc + ad + bd
                                    = ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:
Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.
    Contoh Soal :
    Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
 a. (x + 1)(x + 2)                c. (x – 2)(x + 5)
 b. (x + 8)(2x + 4)              d. (3x + 4)(x – 8)
    Jawab:
    a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2
                          = x2 + 3x + 2
b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32
                             = 2x2 + 20x + 32
c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10
                         = x2 + 3x – 10
d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32
                           = 3x2 – 20x – 32
3. Pembagian Bentuk Aljabar
Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.
   Contoh Soal :
    Tentukan hasil pembagian berikut.
  .8x : 4                   
J          Jawab: 8x : 4 = 2x
a.                  

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar
Pada bagian ini materi bilangan berpangkat akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kita ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. a5 = a × a × a × a × a
b. (2a)3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a3
c. (–3p)4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
               = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2


Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
 = (a + b)a + (a + b)b
 = a2 + ab + ab + b2
 = a2 + 2ab + b2
Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai:
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
    Contoh Soal : (2x - y)
   = (2x – y) (2x – y)
   =(2x – y)2x + (2x – y)(-y)
   =2x - 2xy – 2xy + y
   =2x  - 4xy + y
Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut.
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
             = (a + b) (a2 + 2ab + b2)                          (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
             = a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 )         (menggunakan cara skema)
             = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(suku yang sejenis dikelompokkan)
             = a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3
  (oprasikn suku-suku yg sejenis)           
             = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

LATIHAN 2

1.                 Tentukan koefisien x                              3. Sederhanakanlah
 + 5x +7                                                 a. 3a + 2b – 7a  + 5b
b.  -  + 12                                          b. 3 x (4a)

2.      Hitunglah 3x + 2 ,Jika                               4. Selesaikan soal berikut
c.       x = 10                                                              a. ( x + 8 ) 2
d.      x = - 7                                                              b. ( x + 8 ) ( x – 8 )
5.                  Tuliskan sebagai satu suku
a)                 +

b)               

No comments:

Post a Comment