Bilangan Bulat
1.
Pengertian bilangan bulat
Bilangan
merupakan suatu satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat
diunitkan, ditambah, atau dikalikan.
Bilangan
bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.
3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :
Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
A. Komutatif : Untuk semua elemen a dan b dari bilangan bulat,
B. Asosiatif :
C. Tertutup :
Salah satu Rumus penting :
Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
A. Komutatif : Untuk semua elemen a dan b dari bilangan bulat,
B. Asosiatif :
C. Tertutup :
o Jumlah
bilangan bulat sembarang adalah bilangan bulat.
o Hasil kali
bilangan bulat sembarang adalah bilangan bulat.
D. Memiliki identitas :
E. Invers penjumlahan :
E. Invers penjumlahan :
4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :
Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :
Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10
5. Perkalian
dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)
Sifat-sifat :
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)
Sifat-sifat :
6. Pembagian
Pembagian adalah operasi yang berkebalikan dengan perkalian, misalnya a, b, c,
B, b faktor
dari a dan b
0 maka a : b = c
c x b = a
Pembagian adalah operasi yang berkebalikan dengan perkalian, misalnya a, b, c,
Contoh : 12
: 3 = 4
4 x 3 = 12
18 : (-2) = -9
-9 x (-2) = 18
7.
Perpangkatan dan Sifat
8. Akar
Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga
Latihan 1
1. Selesaikan soal berikut
a. (45 +-355) -37
b. ((-10) x 3) x 5
c. 15 (2 x (-6))
d. -24 : 3
e. (32 x 3) : (-6)
2. Selesaikan soal berikut
a. 5
+ 7
+ 2
b.
+
-
c. 6
- 7
d.
+ 4
+ (15 :
( -3))
3. Tiga tahun
yang lalu umur ayah tiga kali umur anak, jika umur anak sekarang delapan
belas tahun, berapakah umur ayah sekarang ?
OPERASI
HITUNG PADA BENTUK
ALJABAR
1.
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bagian ini, kita akan
mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk
aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku
pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada
bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.
a. Sifat Komutatif
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil
Agar dapat lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar
berikut.
a. 6mn + 3mn b. 16x + 3 + 3x + 4 c. –x – y + x – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2
Jawab:
A . 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4 = 19x + 7 c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3 = –y – 3 d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2 = 5p – 3p2 + 2q – 5q2 = –3p2 + 5p – 5q2 + 2q e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2 = m2 + 6m
Contoh Soal :
Tentukan hasil dari:
a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10, b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.
Jawab:
a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2
– 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x2 + 4xy – 2 b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15 = –4p2 – 20p – 20 |
Perhatikan kembali sifat distributif
pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada
bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar dapat memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar dapat memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.
a. 2(x + 3) c. 3x(y + 5) b. –5(9 – y) d. –9p(5p – 2q)
Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x +
6
c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq |
b. Perkalian Suku Dua dengan Suku
Dua
Agar dapat memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Agar dapat memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Tentukan hasil perkalian suku dua
berikut, kemudian sederhanakan.
a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1) b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)
Jawab:
a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
= x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15 b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1 = x2 – 4x + x – 4 = x2 – 3x – 4 c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1 = 6x2 + 12x + 2x + 4 = 6x2 + 14x + 4 d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5) = –3x2 + 2x + 15x – 10 = –3x2 + 17x – 10
Contoh Soal :
Diketahui sebuah persegipanjang
memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.
Jawab:
Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l
= (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang Luas = p × l = (5x + 3)(6x – 2) = (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2) = 30x2 + 18x – 10x – 6 = 30x2 + 8x – 6 Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2 |
Amati
kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c
+ d) dapat ditulis sebagai berikut.
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:
Cara seperti
ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian
antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a. (x + 1)(x + 2) c. (x – 2)(x + 5) b. (x + 8)(2x + 4) d. (3x + 4)(x – 8)
Jawab:
a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2
= x2 + 3x + 2 b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32 = 2x2 + 20x + 32 c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10 = x2 + 3x – 10 d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32 = 3x2 – 20x – 32 |
Pembagian bentuk aljabar akan lebih
mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh Soal :
Tentukan hasil pembagian berikut.
.8x : 4
J Jawab: 8x : 4 =
2x
a.
|
4.
Perpangkatan Bentuk Aljabar
Pada bagian ini materi bilangan
berpangkat akan
dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kita ketahui,
bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi bilangan berpangkat berlaku
juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. a5 = a × a × a × a × a
b. (2a)3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a3
c. (–3p)4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
= ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2
b. (2a)3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a3
c. (–3p)4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
= ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2
Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a
+ b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b)
(a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2
dapat ditulis:
(a + b)2 = (a + b) (a
+ b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Dengan cara yang sama, bentuk (a –
b)2 juga dapat ditulis sebagai:
(a – b)2 = (a – b) (a –
b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
Contoh Soal : (2x - y)
= (2x – y) (2x – y)
=(2x – y)2x + (2x – y)(-y)
=2x
=2x
|
Selanjutnya, akan diuraikan bentuk
(a + b)3, sebagai berikut.
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (menggunakan cara skema)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (suku yang sejenis dikelompokkan)
= a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3 (oprasikn suku-suku yg sejenis)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (menggunakan cara skema)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (suku yang sejenis dikelompokkan)
= a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3 (oprasikn suku-suku yg sejenis)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
LATIHAN 2
1.
Tentukan koefisien x 3.
Sederhanakanlah
b.
-
+ 12 b. 3 x
(4a)
2. Hitunglah
3x + 2 ,Jika 4.
Selesaikan soal berikut
c. x
= 10 a.
( x + 8 ) 2
d. x
= - 7 b.
( x + 8 ) ( x – 8 )
5.
Tuliskan sebagai satu
suku
a)
+
b)
No comments:
Post a Comment