Kapita Selekta Matematika
SLTA
HIMPUNAN DAN
OPERASI-OPERASINYA
Disusun
Oleh :
1.
SARI
NUR MEILISA (201010060311004)
2.
SUSI
SUSANTI (201010060311020)
3.
IDA
PRAWATI (201010060311045)
PENDIDIKAN
MATEMATIKA
FAKULTAS
KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVESITAS
MUHAMMADIYAH MALANG
2011
INDIKATOR
Mata
Kuliah : Kapita Selekta
SLTA
Kode
Mata Kuliah : 011-032501
Standar
Kompetensi : Memahami himpunan, persamaan dan fungsi
kuadrat,persamaan dan
pertidaksamaan, fungsi eksponen, dan logaritma, hitung keuangan vector,
matriks, trigonometri, logika, limit, diferensial, integral, lingkaran, deret,
dan dimensi tiga.
Kompetensi
Dasar : Memahami Konsep himpunan dan operasi-operasinya
Indikator
: 1. Menyebutkan cirri-ciri himpunan
2. Mengerjakan operasi himpunan
Pokok
Bahasan : 1. Ciri-ciri himpunan
2. Operasi himpunan
HIMPUNAN
A. Pengertian
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-
benda atau obyek yang memiliki ciri yang sama dan telah dibatasi atau
terdefinisi secara jelas
Contoh:
1. {
2, 3, 5, 7} adalah himpunan bilangan prima dari 10 sampai 20.
2. Himpunan siswi kelas III SMU
Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
3. Himpunan bilangan-bilangan bulat diantara
100 dan 500 yang habis dibagi 7
B. Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya
Untuk menyatakan suatu himpunan kita dapat menggunakan
huruf kapital sedangkan untuk menyatakan suatu elemen pada himpunan menggunakan
huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya
dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara
pendaftaran (roster method).
Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat
keanggotaan (ruler method).
1. Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua
anggotanya selain disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi.
Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota
himpunan tersebut. Apabila anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua
anggotanya dapat ditulis. Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang
banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk menuliskanya dapat diwakili
dengan tiga titik”...”.
Contoh 1 : Nyatakan himpunan berikut dengan Cara
Pendaftaran.
A = himpunan bilangan asli
B = himpunan bilangan genap kurang dari 10.
C = himpunan bilangan bulat.
D = himpunan bilangan prima kurang dari 20.
Jawab:
A =
B =
C =
D =
2.
Dengan
Sifat keanggotaan (Ruler Method)
Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat
keanggotaanya, cara ini juga disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan
syarat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan itu. Objek atau elemen yang
memenuhi syarat himpunan itu adalah anggotanya.
Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan
variabel, misalnya x dan syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti
himpunan tersebut bersifat P. Himpunan tersebut ditulis A=
;”
” garis tegak
dibaca ”sedemikian sehingga”. Cara membaca himpunan tersebut adalah A himpunan
semua x sedekian sehingga x mempunyai sifat P. A =
selain disebut
cara menyatakan himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut notasi pembentuk
himpunan
Contoh 2: Nyatakan himpunan berikut dengan notasi
pembentukan himpunan.
A =
B =
C
=
D.
=
Jawab:
A
=
B
=
C
=
D =
3. Keanggotaan Suatu Himpunan
Dalam matematika lambang anggota adalah ”
”, sedangkan bukan anggota dilambangkan dengan
”
”. Anggota himpunan A =
adalah a, b,c,d,e dan f,g,h bukan anggota A.
Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a
A, b
A, c
A, d
A, e
A.Tetapi f
A, g
A, dan h
A.
Himpunan B =
.Jadi 2
B, 5
B, 7
B. Tetapi 1
B, 9
B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P =
berarti a
P dan
P.
anggota P yang berbentuk himpunan.
4. Banyaknya
Anggota Suatu Himpunan
Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan
kardinal dan diberi lambang “n”. Jika
A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari himpunan A ditulis n(A).
Contoh 3: Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di
bawah ini?
A
=
B
=
C
=
Jawab:
A
=
, maka
kardinal A adalah n(A) = 6
B
=
=
maka bilangan kardinal B adalah n(B) = 5
C
=
, berarti juga
D =
, maka
bilangan kardinal D adalah n(D) = ~.
Himpunan C
adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak anggotanya. ”~” melambangkan
bilangan kardinal tak terhingga.
5. Macam-macam Himpunan
a.
Himpunan
Kosong
Himpunan
A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau
n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan ϕ atau
. Jadi apabila A =
, maka A = ϕ atau A =
dan n(A) = 0.
Perhatikan
contoh di bawah ini!
1.
B =
2.
C =
3.
D =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki
anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0.
b. Himpunan
Semesta
Himpunan
semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang
memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang
sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita
membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam
pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh
5:
1.
Apabila kita
membicarakan himpunan A
maka yang dapat
menjadi himpunan semesta adalah:
U =
,
U =
,
U =
atau himpunan lain yang memuat A.
2.
Apabila
kita membicarakan himpunan
B=
, maka yang
menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
6.
Himpunan Berhingga
Himpunan
A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a
bilangan cacah. Dengan perkataan lain,
himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan
dengan suatu bilangan cacah.
Contoh 6
a. A =
karena n(A)
= 0, 0
bilangan cacah.
b. B =
n(B)
= 20, 20
bilangan cacah.
7.
Himpunan
Tak Berhingga
Himpunan A
disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan
berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses
perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak
anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah. Contoh 7:
A =
Apabila kita menghitung anggota himpunan A, maka proses perhitungan anggota A tidak akan
berakhir. Jadi A adalah himpunan tak berhingga dan n(A)=~.
8.
Himpunan
Terbilang
Himpunan
A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat
ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a.
A
=
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang
sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab
n(A) = 3.
b.
B
=
Himpunan B di atas merupakan
contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga
sebab n(B) = ~.
9.
Himpunan
Tak Terbilang
Himpunan
A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung
satu persatu.
Contoh 9:
B =
Himpunan B
merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung
satu persatu. Himpunan B juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(B) =
~.
10.
Himpunan
Terbatas
Himpunan
A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri
saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai
batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga
disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a.
P
=
, mempunyai
batas bawah 0 dan batas atas 4.
b.
Q
=
, mempunyai
batas bawah 0 dan batas atas 3.
Tetapi 0
R dan 3
Q.
Khusus
untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan
himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a.
A
=
dapat ditulis
b.
B
=
dapat ditulis
c.
C
=
dapat ditulis
d.
D
=
dapat ditulis (0,5)
11.
Himpunan
Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan
tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 11
R =
Menyelesaikan Operasi Himpunan
1.
Relasi
Antar-Himpunan
Gabungan Dua Himpunan
Gabungan
dua himpunan A dan B yang dilambangkan dengan ”A
B” adalah
himpunan baru yang anggota-anggotanya terdiri dari semua anggota A atau anggota
B atau anggota kedua-duanya. ”A
B” dibaca A
gabungan B atau gabungan A dan B.
Jika
dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan maka A
B =
, dan jika dinyatakan dengan diagram Venn maka daerah
yang diarsir merupakan daerah A gabungan.
Diagram Venn A
B
|
A B
|
Contoh
1.
Jika
A =
B =
Maka
A
B =
Diagram Vennnya
|
A B
|
|
d
c
e
|
|
a
b
|
A
B
Contoh 2.
Jika A =
dan
B =
berarti A
B
Maka A
B =
= B
|
.B
|
|
.A
.5
.6
|
|
.2
.3
.1
.4
|
Gambar
2
A
B A
B = B
A
B
Contoh 3.
Jika A =
dan B =
, maka A
B =
2. Irisan
Dua Himpunan
Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9}
B
= {2, 3, 5, 7}
Anggota himpunan
A dan B adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B= {3, 5,
7}.
Anggota himpunan
A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A
dan B. Anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua himpunan,
dinotasikan dengan
(
dibaca : irisan atau interseksi). Jadi, A ∩ B
= {3, 5, 7}.
Atau dapat
dikatakan :
Irisan
(interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan
anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.
Ø Menentukan
irisan dua himpunan
a. Himpunan
yang satu merupakan himpunan bagian yang lain.
Misalkan A = {1,
3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Irisan dari himpunan A dan B adalah A
B = {1, 3, 5} = A.
Jika A
B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh
karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.
Jika A
B maka A
B = A.
b. Kedua
himpunan sama.
Dua himpunan A
dan B dikatakan sama apabila semua anggota A jyga menjadi anggota B begitupun
sebaliknya. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A
atau anggota B.
Jika A = B maka
A ∩ B = A
atau A
B = B.
c. Kedua himpunan tidak saling lepas
(berpotongan).
Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan)
jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B
dan ada anggota B yang bukan anggota A.
3.
Selisih (Difference) Dua Himpunan
Selisih (difference) himpunan A dan
B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota
dari B.
Selisih himpunan A dan B dinotasikan
dengan A – B atau A
B
(dibaca: selisih A dan B).
|
S
A B
|
Dengan notasi pembentuk himpunan
dituliskan sebagai berikut.
A – B = {
B – A = {
Diketahui A = {a, b, c, d} dan B =
{a, c, f, g}.
Selisih A dan B adalah A – B = {a,
b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a,
c, f,g} – {a, b, c, d} = {f, g}.
4.
Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen himpunan A adalah suatu
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan
dituliskan sebagai berikut.
AC =
Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalah AC
= {1, 2, 6, 7}.
Komplemen A dinotasikan dengan AC
atau A’ (AC atau A’ dibaca : komplemen A).
SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Komutatif
A
È B = B È A ,
berlaku pula untuk irisan
(A È B) È C = A È (B È C)
2. Distributif
(A
È B) Ç C = (A È B) Ç (A È C)
3. Idempoten
A È
A = A
A Ç
A = A
4. Identitas
A È U = A dan A È F = A, berlaku pula untuk irisan
5. Komplementer
A È A` = U
A Ç A` = F
6. De Morgan
(A È B)` = A` È B`
(A Ç B)` = A` Ç B`
7. Penyerapan
A È (A Ç B) = A
A
Ç (A È B) = A
Soal
1. Apabila
A = { x | 1£ x < 13 , x Î P} maka dengan menyebutkan anggotanya A adalah ...
.
a.
{1,3,5,7,9} c. {2,3,5,7,9} b. {1,3,5,7,11} d. {2,3,5,7,11}
2. Di
antara himpunan - himpunan di bawah ini yang merupakan himpunan kosong adalah
... ..
a.
{bilangan prima genap}
b.
{bilangan prima antara 19 dan 23}
c.
{bilangan rasional antara 8 dan 9}
d.
{bilangan asli antara 1 dan 13 habis dibagi12}
3. K
= {2,3,4,5} banyaknya hinpunan bagian yang memiliki 2 anggota adalah ... .
a.
4. c. 6
b.
5 d. 7
4. Apabila
P = { bilangan Prima £ 15}, Banyaknya himpunan bagian dari P yang mempunyai 3
anggota sebanyak ... .
a.
10 c. 15
b.
12 d. 20
5. K
= { 2,3,5,7} . Di antara himpunan-himpunan di bawah ini yang dapat menjadi
himpunan semesta pembicaraan himpunan K adalah ... .
a.
himpunan bilangan ganjil
b.
himpunan bilangan genap
c.
himpunan bilangan asli
d.
himpunan bilangan prima yang kurang dari 7
6. Ditentukan
: P=Himpunan lima bilangan prima yang pertama, Q=Himpunan tujuh bilangan cacah
yang pertama PÇ Q adalah ... .
a.
{1,2,3,5} c. {1,3,5 }
b.
{1,3,5,7} d. { 2,3,5 }
7. Dalam
suatu kelas terdapat 42 siswa , 27 anak gemar matematika, 19 anak gemar IPA,
dan 10 anak gemar kedua-duanya. Bayaknya siswa tidak gemar matematika atau IPA
adalah ... .
a.
8 anak c.6 anak
b.
7 anak d.5 anak
8. n
(A) = 25, n (B) = 19 dan n (AÇB) = 9,n(AÈB) = ... .
a.
53 siswa c. 35 siswa
b.
44 siswa d. 34 siswa
9. Dalam suatu kelas yang terdiri dari
40 siswa ternyata 24 siswa gemar basket, 30 siswa gemar tenis, dan
2 siswa tidak gemar kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar
basket dan tenis?
10. n
( AÈB ) = 34 ; n( A
) = 26 ; n( B ) = 18 ; Banyaknya siswa yang menyukai A maupun B atau n(AÇB) adalah ... .
a. 14 b. 10 c. 12 d. 8
No comments:
Post a Comment